• facebook
  • whatsapp
  • telegram

బీజగణితం

* బీజగణితంలో రాశులను అక్షరాలతో సూచిస్తారు. వీటినే బీజాలు అంటారు.
* బీజాలతో గణన చేసే విధానమే బీజగణితం.
* బీజగణిత పితామహుడు: డయాఫాంటస్.
* సాధారణీకరణం చేసిన అంకగణితమే బీజగణితం.
* Algebra అనే ఆంగ్ల పదం Al-Jabar అనే అరబిక్ పదం నుంచి వచ్చింది.
* భారతీయ గణిత శాస్త్రవేత్తలు ఆర్యభట్ట, బ్రహ్మగుప్త, భాస్కరాచార్య మొదలైనవారు బీజగణితంలో అనేక సూత్రాలను, సమీకరణాలను కనుక్కున్నారు.
స్థిరరాశి: స్థిర విలువ ఉండే బీజాన్ని స్థిరరాశి అంటారు.
ఉదా: 5, 6, -10 మొదలైనవి.
చరరాశి: నిర్ణీత సమితి నుంచి ఏ విలువనైనా ఎన్నుకునే అవకాశం ఉండే బీజాన్ని చరరాశి అంటారు.
ఉదా: a, x, b, y మొదలైనవి.
పదం: కేవలం స్థిరరాశి/ చరరాశి లేదా స్థిర, చర రాశుల లబ్ధాన్ని పదం అంటారు.
ఉదా: 6, 5x, 7a, -2y, 4x2yz.

 

సంఖ్యా సమాసం: ఒకే పదం లేదా సంకలన, వ్యవకలన పరిక్రియలతో కలిసి ఉన్న పదాన్ని సమాసం అంటారు. అన్ని పదాలు సంఖ్యలుగా ఉండే సమాసాన్ని సంఖ్యా సమాసం అంటారు.
ఉదా: 5 + 3, 8 × 2, 6 - 3
సంఖ్యా వాక్యం: రెండు సంఖ్యా సమాసాలను సమానం (=), సమానం కాదు (), ఎక్కువ (>), ఎక్కువ కాదు (), తక్కువ (<) , తక్కువ కాదు () అనే గుర్తులతో వేరుచేసిన వాక్యమే సంఖ్యా వాక్యం.
ఉదా: 5 + 3 = 2
         6 - 4 2
         5 × 4 > 5
         6 × 3  6
         7 × 4 < 6
         9 × 10  5
గమనిక: సంఖ్యా వాక్యం సత్యమా, అసత్యమా అని చూడనవసరం లేదు.
గణిత ప్రవచనం: సత్యమని గాని అసత్యమని గాని కచ్చితంగా తెలపగలిగే గణిత వాక్యాన్ని గణిత ప్రవచనం అంటారు.
ఉదా: 4 + 2 = 6 (T)
         6 - 1 5 (F)

అనిశ్చిత వాక్యం: సత్యమని గాని అసత్యమని గాని కచ్చితంగా తెలపలేని వాక్యాన్ని అనిశ్చిత వాక్యం అంటారు.
ఉదా: 1) ఆమె అందంగా ఉంది.
         2) x + 5 = 6
సమీకరణం: సమానత్వపు గుర్తు ఉండే అనిశ్చిత వాక్యాన్ని సమీకరణం అంటారు.
ఉదా: x + 3 = 9
         x + 2x + 1 = 0
రేఖీయ సమీకరణం: ప్రథమ పరిమాణ చరరాశులు ఉండే సమీకరణాలను రేఖీయ సమీకరణాలు అంటారు.
ఉదా: 2x + 3 = 0, 2x + 3y = 5, 5x + 6y + 2z = 7
* x + y = z రేఖీయ సమీకరణం కాదు.
సామాన్య సమీకరణాలు లేదా ఏక చరరాశిలో రేఖీయ సమీకరణాలు:
* a, b స్థిరరాశులు; a 0 అవుతూ ax + b = 0 లేదా ax = b రూపంలో ఉండే సమీకరణాన్ని ఏక చరరాశిలో రేఖీయ సమీకరణం అంటారు.
* కేవలం ఒకే చరరాశి ఉండే రేఖీయ సమీకరణాలను ఏక చరరాశిలో రేఖీయ సమీకరణాలు (లేదా) సామాన్య సమీకరణాలు అంటారు.

* '+' రాశి పక్షాంతరం చెందితే '-' అవుతుంది.
* '-' రాశి పక్షాంతరం చెందితే '+' అవుతుంది.
* '×' రాశి పక్షాంతరం చెందితే '÷' అవుతుంది.
* '÷' రాశి పక్షాంతరం చెందితే '×' అవుతుంది.
గమనిక: పక్షాంతరం అంటే సమానత్వపు గుర్తుకు రెండో వైపు వెళ్లడం.
మార్పిడి విలువలు: ఒక సమీకరణంలో చరరాశికి బదులుగా ప్రతిక్షేపించే విలువలను మార్పిడి విలువలు అంటారు.
సమీకరణ సాధన లేదా మూలం: ఒక సమీకరణంలో చరరాశికి బదులు ఏ విలువను ప్రతిక్షేపిస్తే ఆ సమీకరణం సత్యమవుతుందో ఆ విలువను సాధన లేదా మూలం అంటారు.
ఉదా: x + 9 = 12 సాధన x = 3.
బీజీయ సమాసం: కనీసం ఒక బీజీయ పదం ఉండే సమాసాన్ని బీజీయ సమాసం అంటారు.
ఉదా: 3x, x + 5, -6x
ఏకపది: కేవలం ఒకే పదం ఉండే బీజీయ సమాసాన్ని ఏకపది అంటారు.
ఉదా: 3x, 5x2yz, -  a2b
ద్విపది: రెండు పదాలు ఉండే బీజీయ సమాసాన్ని ద్విపది అంటారు.
ఉదా: 5a - 6, b - 1, xyz + 

త్రిపది: మూడు పదాలు ఉండే బీజీయ సమాసాన్ని త్రిపది అంటారు.
ఉదా: x + y + z, x2 + yz + x
బహుళపది: మూడు కంటే ఎక్కువ పదాలు ఉండే బీజీయ సమాసాన్ని బహుళపది అంటారు.
ఉదా: x3 + 6x-5 +   + 7
* ద్విపదులు, త్రిపదులు కూడా బహుళపదులే.
బహుపది: రుణేతర పూర్ణసంఖ్యలు ఘాతాంకాలుగా ఉండే బహుళపదిని బహుపది అంటారు.
ఉదా: x4 + 6x3 + 5x2 + 4x + 3
సజాతి పదాలు: ఒకే బీజీయ గుణకాలు ఉండే పదాలను సజాతి పదాలు అంటారు.
ఉదా: 2x2y, 5x2y.
విజాతి పదాలు: విభిన్న బీజీయ గుణకాలు ఉండే పదాలను విజాతి పదాలు అంటారు.
ఉదా: 5x2y, -6x2y
ఏకపది పరిమాణం: ఒక బీజీయ సమాసం గరిష్ఠ ఘాతాంకాన్ని దాని పరిమాణం అంటారు.
(i) ఏకపది స్థిరరాశి అయితే దాని పరిమాణం 0
ఉదా: 6 యొక్క పరిమాణం = 0

(ii) ఏకపది రెండు లేదా అంతకంటే ఎక్కువ చరరాశుల లబ్ధంగా ఉంటే వాటి ఘాతాంకాల సంకలనమే దాని పరిమాణం.
ఉదా: 6x2 y3 z4 పరిమాణం = 2 + 3 + 4 = 9

 

బీజీయ సమాసాల సంకలనం
సజాతి పదాలను కలపడం ద్వారా సమాసాల సంకలనం సాధ్యమవుతుంది.
ఉదా: A = 5x2 + 9x + 6, B = 3x + 4x2 - 8 అయితే A + B
A + B = (5x2 + 3x) + (9x + 4x) + (6 - 8) = 8x2 + 13x - 2

* 2x అనే బీజీయ సమాసం సంకలన విలోమం -2x.

 

బీజీయ సమాసాల వ్యవకలనం
A, Bలు రెండు బీజీయ సమాసాలైతే
A - B = A + (-B)
అంటే A, B యొక్క సంకలన విలోమాల సంకలనమే A, B ల వ్యవకలనం.
A = 3x + 6y - 3z, B = 2x - 3y + 5z
A - B = (3x + 6y - 3z) + (-2x + 3y - 5z)
          = 3x - 2x + 6y + 3y - 3z - 5z
          = x + 9y - 8z

గమనిక: * ఒక పదం ముందు ఏ గుర్తూ లేకపోతే అది ధనాత్మక పదం.
           * బ్రాకెట్ ముందు - గుర్తు ఉంటే పదాల గుర్తులు మార్చాలి.
ఉదా: -(2a + 6a2 - 7a3) = -2a - 6a2 + 7a3

 

బీజీయ సమాసాల గణకారం
     రెండు బీజీయ సమాసాల లబ్ధానికి మొదటి సమాసంలోని ప్రతి పదంతో రెండో సమాసంలోని ప్రతి పదాన్ని గుణించాలి.
ఉదా: 1) 2(-6x2 + 2x + 3) = -12x2 + 4x + 6
         2) 6a × (-5b) = -30ab
         3) (3x + 4)(6x2 + 4x + 3)
                  = 18x2 + 12x2 + 9x + 24x2 + 16x + 12
                  = 18x2 + 36x2 + 25x + 12

 

బీజీయ సమాసాల భాగహారం
విభాజ్యాన్ని కారణాంకాలుగా విభజించి బీజీయ సమాసాల భాగహారం చేయవచ్చు.
ఉదా: x2 - 4 ÷ x + 2

* ఒక సమాసంలోని ఏ రెండు పదాలైనా సజాతి పదాలు కానప్పుడు ఆ సమాసం సూక్ష్మరూపంలో ఉంది అంటారు.
ఉదా: 2xy + 3y2z + 4xz
* ఒక సమాసంలోని పదాల పరిమాణం అవరోహణ క్రమంలో ఉంటే ఆ సమాసం ప్రామాణిక రూపంలో ఉంది అంటారు.
ఉదా: 5x4 + 4x3 + 6x2 - 2x + 1

 

సర్వసమానత్వం (సర్వసమీకరణాలు)
* సర్వసమానత్వం అనేది ఒక సమానత.
* చరరాశులకు బదులుగా ఏ విలువలను ప్రతిక్షేపించినా సత్యమయ్యే సమీకరణమే సర్వసమీకరణం.
* కొన్ని విలువలకు మాత్రమే సత్యమైతే సమీకరణం అంటారు.
* సర్వసమానతను '' (identically equal to) గుర్తుతో సూచిస్తారు.
* అన్ని సమీకరణాలు సర్వ సమీకరణాలు కావు.
    (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
    (a - b)2 = a2 - 2ab + b2
    (a + b)(a - b) = a2 - b2
    (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca)
    (x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab
    a3 + b3 + c3 - 3abc = (a2 + b2 + c2 - ab - bc - ca)(a + b + c)

బీజీయ సమాసాల కారణాంక విభజన
* ఇచ్చిన సమాసాన్ని కారణాంకాల లబ్ధంగా రాయడాన్ని కారణాంక విభజన అంటారు.
* సూక్ష్మీకరణ సాధ్యం కాని కారణాంకాన్ని అవిభాజ్య కారణాంకం అంటారు.
* a2 + 2ab + b2; a2 - 2ab + b2; a2 - b2, x2 + (a + b)x + ab లు కారణాంక విభజన ద్వారా సర్వసమీకరణాలు అవుతాయి.
* x2 + (a + b)x + ab రూపంలో ఉండే సమాసాన్ని (x + a)(x + b) రూపంలో రాయవచ్చు.
* భాగహారం అనేది గుణకారం యొక్క వ్యుత్ర్కమ ప్రక్రియ. ఈ విధానాన్ని బీజీయ సమాసాలకు కూడా ఉపయోగించవచ్చు.

 

గోల్డ్‌బక్ ఊహ
     గోల్డ్‌బక్ తన పరిశీలనల నుంచి 'ప్రతి బేసి సంఖ్య, ప్రధాన సంఖ్య లేదా కొన్ని ప్రధానసంఖ్యల మొత్తంగా లేదా వర్గసంఖ్యకు రెట్టింపు సంఖ్యగా ఉంటుంది' అని కనుక్కున్నాడు.
ఉదా: ఒక బేసి సంఖ్య 21 తీసుకుంటే
          21 = 19 + 2 లేదా 13 + 2(4) లేదా 3 + 2(9)గా చూపవచ్చు.
* ఇదే విధంగా 9000 సంఖ్య వరకు పరిశీలించాడు. వీటిలో కేవలం రెండు సంఖ్యలు
5777 = 53 × 109, 5993 = 13 × 641 లకు మాత్రమే మినహాయింపు ఉంది.

       ఎందుకంటే ఇవి ప్రధానసంఖ్యలు కావు. అలాగే వీటిని ప్రధాన సంఖ్యల మొత్తంగా లేదా వర్గ సంఖ్యకు రెట్టింపుగా రాయలేం.
 

ఘాతాంకాలు - ఘాతాలు
a × a × a × ----- 'm' సార్లు = am అని చదువుతారు. ఇక్కడ a   భూమి
                                                                  m   ఘాతాంకం
ఉదా: x6 లో భూమి x, ఘాతాంకం 6, గుణకం 1
         2x5 లో భూమి x, ఘాతాంకం 5, గుణకం 2
         (6x)8 లో భూమి 6x, ఘాతాంకం 8, గుణకం 1

ఘాతాంక న్యాయాలు
 

1. గుణకార న్యాయం

a ఏదైనా ఒక శూన్యేతర పూర్ణసంఖ్య. 'm', 'n' లు పూర్ణసంఖ్యలైతే
     am × an = am + n

 

2. ఘాతం యొక్క ఘాత న్యాయం
'
a' అనేది ఒక శూన్యేతర పూర్ణసంఖ్య. m, n లు పూర్ణసంఖ్యలైతే


    

3. లబ్ధం యొక్క ఘాత న్యాయం
a, b లు ఏవైనా రెండు శూన్యేతర పూర్ణసంఖ్యలు; m ఏదైనా ధనపూర్ణసంఖ్య అయితే
    am × bm = (ab)m

 

4. ఘాతాంకాల భాగహార న్యాయం
(a) రుణ ఘాతాంకాలు

a ఏదైనా శూన్యేతర పూర్ణసంఖ్య. n అనే ఏదైనా ఒక పూర్ణసంఖ్యకు


   
(b) శూన్య ఘాతాంకం
a ఏదైనా ఒక శూన్యేతర పూర్ణసంఖ్య అయితే
a = 1


(c) ఒకే భూమి ఉండే ఘాత రూపాల భాగహారం
a ఏదైనా శూన్యేతర పూర్ణసంఖ్య; m, n లు పూర్ణసంఖ్యలైతే

(d) ఒకే ఘాతాంకం ఉండే పదాలను భాగించడం:
a, b లు ఏవైనా రెండు శూన్యేతర పూర్ణసంఖ్యలు; m ఒక పూర్ణసంఖ్య అయితే

* రుణ ఆధారాలు ఉండే ఘాతరూపాలు
  i) 1 యొక్క ఘాతాంకం ఏదైనా దాని విలువ 1
  ii) (-a)m = -am (m బేసి సంఖ్య)
  iii) (-a)m = am (m సరి సంఖ్య)
* a0 ≠ 1 ( a = 0)
* ఒక సంఖ్యను 1.0, 10.0 మధ్య గల దశాంశ భిన్నంగా రాసి దానికి కావాల్సిన 10 యొక్క ఘాతాలతో లబ్ధం చేయడాన్ని ప్రామాణిక రూపంలో వ్యక్తపరచడం అంటారు.
ఉదా: భూమి ద్రవ్యరాశి = 5.976 × 1024 kg (ఇదొక ప్రామాణిక రూపం)
అదే విధంగా 946 × 1015 ప్రామాణిక రూపం 9.46 × 1017

 

మాదిరి ప్ర‌శ్న‌లు

Posted Date : 16-04-2021