• facebook
  • whatsapp
  • telegram

సంఖ్యా వ్య‌వ‌స్థ‌

పరిచయం:  

ప్రస్తుతం ఉపయోగిస్తున్న సంఖ్యామానం క్రీ.శ. 500 నుంచి ఉన్నట్లు తెలుస్తోంది. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0 అనేవి అంకెలు. వీటిని ఉపయోగించి సంఖ్యలు రాస్తాం. ఈ అంకెలను ఉపయోగించి వివిధ రకాలైన వస్తువులను లెక్కిస్తారు. ఇలా లెక్కించడాన్ని గణనం అంటారు. అందువల్ల వీటిని గణన సంఖ్యలని కూడా అంటారు.
సహజ సంఖ్యా సమితి: ఒకటి నుంచి మొదలై, ధనాత్మక సంఖ్యలను అన్నింటినీ కలిగి ఉండే సమితిని సహజ సంఖ్యా సమితి అంటారు.  సహజ సంఖ్యా సమితిని 'N' తో సూచిస్తారు. 
 N = {1, 2, 3, 4, 5...}

సంఖ్యలు: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 అనే పది అంకెలను ఉపయోగించి ఏ సంఖ్యనైనా రాయొచ్చు.
సహజ సంఖ్యలు: మనం లెక్కించే సంఖ్యలను 'సహజ సంఖ్యలు' అంటారు.1, 2, 3, .......n
* మొదటి n సహజ సంఖ్యల మొత్తం:  

* మొదటి n సహజ సంఖ్యల వర్గాల మొత్తం = 
                                                      
* మొదటి n సహజ సంఖ్యల ఘనాల మొత్తం = 
                                                          
* మొదటి n సరి సంఖ్యల మొత్తం = 
                                            
* మొదటి n బేసి సంఖ్యల మొత్తం = 

 

5. మొదటి 'n' బేసి సంఖ్యల మొత్తం =  n2
 1 + 3 + 5 + 7 + ... n సంఖ్యలు =  n2
మాదిరి ప్రశ్న: 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 1 1 + 13 + 15 + 17 + 19 + 21 = ?
సాధన: ఇక్కడ మొదటి '11' బేసి సంఖ్యల మొత్తం కావాలి. అంటే n = 11
సూత్రం: 1 + 3 + 5 +... + 'n' పదాలు = = 121

మాదిరి ప్రశ్న:  మొదటి వంద సహజ సంఖ్యలలోని బేసి సంఖ్యల మొత్తం ఎంత?
సాధన: మొదటి 100 సహజ సంఖ్యలలో 50 బేసి సంఖ్యలు ఉంటాయి. అంటే ఇక్కడ మనం మొదటి 50 బేసి సంఖ్యల మొత్తం కనుక్కోవాలి.   అంటే n = 50.
సూత్రం:  n(n+1) = 50 (51) = 2550.
6. మొదటి n సరిసంఖ్యల మొత్తం = n(n+1)
   2+4+6+8+ ... +n పదాలు =n(n+1)
ఉదా:  2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14 + 16 + 18 + 20 + 22 + 24 = ?
సాధన: ఇక్కడ మొదటి 12 సరి సంఖ్యల మొత్తం కనుక్కోవాలి.   అంటే n = 12
సూత్రం:n(n+1) = 12 (13) = 156.
ప్రధాన సంఖ్య (Prime Number): ఒకటి కంటే పెద్దదై ఉండి, ఒకటి, ఆ సంఖ్యతో మాత్రమే  భాగించగలిగే, ఏ ఇతర సంఖ్యలతోనూ భాగించలేని సంఖ్యను ప్రధాన సంఖ్య అంటారు.
ఉదా:  2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 ...
గమనిక: సరిసంఖ్యలు అన్నింటినీ ఒకటితోనూ, ఆ సంఖ్యతోనూ, '2' తోనూ భాగించవచ్చు. అందువల్ల ప్రధాన సంఖ్యలు అన్నీ బేసి సంఖ్యలే (2 కాకుండా) 

కవల ప్రధాన సంఖ్యలు: రెండు వరుస ప్రధాన సంఖ్యల మధ్య భేదం 'రెండు' అయితే వాటిని కవల ప్రధాన సంఖ్యలు లేదా కవల ప్రధాన సంఖ్యల జత అంటారు.
ఉదా: (3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19) ...
ఇటువంటి కవల ప్రధాన సంఖ్యల జతలు '1' నుంచి 100 లోపు '8' జతలున్నాయి.
కారణాంకం: ఇచ్చిన సంఖ్యను నిశ్శేషంగా భాగించే సంఖ్యను కారణాంకం అంటారు. దీనినే భాజకం అని కూడా అనవచ్చు.
ఉదా:  1, 2, 3, 4, 6, 12 అనేవి '12' ని నిశ్శేషంగా భాగిస్తాయి. కాబట్టి వీటిని '12' కారణాంకాలు లేదా 'ధన భాజకాలు' అంటారు.
    '12' కి ఉండే ధన భాజకాల సంఖ్య = 6.
 ఇచ్చిన సంఖ్యకు ధన భాజకాల సంఖ్యను కనుక్కోవడం:

'N' అనేది ఏదైనా సంఖ్య, a, b, c  లు ప్రధాన సంఖ్యలు, x, y, z  అనేవి ఏవైనా సంఖ్యలై,  గా రాయగలిగితే, 'N' కు ఉండే కారణాంకాలు (ధన భాజకాలు) సంఖ్య (x+1)(y+1)(z+1) అవుతుంది.
మాదిరి ప్రశ్న:  '120'కి ఉండే ధన భాజకాల సంఖ్యను కనుక్కోండి. 
సాధన: ఇలాంటి ప్రశ్నను సులువుగా సాధించడానికి ఇచ్చిన సంఖ్యను నిశ్శేషంగా భాగించే ప్రధాన సంఖ్యతో మాత్రమే కింది విధంగా భాగిస్తూ ఉండాలి.


            120 = 23 × 31 ×  51
  ధన భాజకాల సంఖ్య = (3 + 1)(1 + 1)(1 + 1) = 16

మాదిరి ప్రశ్న:  '250'కి ఉండే ధన భాజకాల సంఖ్య ఎంత?
సాధన:  
             250 = 21 ×  53
 ధన భాజకాల సంఖ్య  =(1+1) (3+1) =8 
గమనిక: 
1) 250 కి ఉండే మొత్తం భాజకాల సంఖ్య = 8
2) 250 కి ఉండే భాజకాల సంఖ్య ('1' కాకుండా) = 8 - 1 = 7.
3) 250 కి ఉండే మొత్తం భాజకాల సంఖ్య ('1', 250 కాకుండా) = 8 - 2 = 6

 విధ సంఖ్యా మానాలు: ప్రస్తుతం మనం ఉపయోగిస్తున్న సంఖ్యా మానాల్లో 1. హిందూ - అరబిక్ మానం, 2. ఆంగ్ల మానం, 3. ద్వి సంఖ్యా మానం, 4. రోమన్ మానం ముఖ్యమైనవి.
హిందూ - అరబిక్ మానం: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0 అనే అంకెలను మొదట కనుగొన్నది మన భారతీయులు. కానీ ఈ అంకెలను ఉపయోగించి రాసే సంఖ్యా విధానాన్ని వాడుకలోకి తెచ్చింది వ్యాపారరీత్యా మన దేశానికి వచ్చిన అరబ్బులు. కాబట్టి ఈ సంఖ్యా విధానాన్ని హిందూ-అరబిక్ మానం అంటారు. 
హిందూ - అరబిక్ మానంలో ఒకట్ల స్థానంలో నుంచి, పది కోట్ల స్థానం వరకు పట్టికలో చూపిన విధంగా ఉంటాయి.
 

అంకెలకు సాధారణంగా రెండు విలువలు ఉంటాయి.
అవి. 1. ముఖ విలువ, 2. స్థాన విలువ.
సాధారణంగా ఒక అంకెకు ఉండే విలువను దాని సహజ విలువ లేదా ముఖ విలువ అంటారు. అంకెకు స్థానాన్నిబట్టి వచ్చే విలువను స్థాన విలువ అంటారు.
                                                        ముఖ్యాంశాలు

1. హిందూ - అరబిక్ మానంలో అన్నింటికంటే చిన్న స్థాన విలువ 'ఒకట్లు'. అతిపెద్ద స్థాన విలువ 'పదికోట్లు'.
2. హిందూ - అరబిక్ మానంలో ఒక సంఖ్య ఎడమ వైపు జరిగేకొద్దీ పదిరెట్లు పెరుగుతుంది. కుడివైపు జరిగేకొద్దీ పదిరెట్లు తగ్గుతుంది.
3. స్థాన విలువలను మొదటిసారి ప్రయోగించిన శాస్త్రజ్ఞుడు భాస్కరాచార్యుడు, మన భారతీయుడే.
        కొన్ని సంవత్సరాల తర్వాత వ్యాపారరీత్యా మన దేశానికి వచ్చిన బ్రిటిషర్లు (ఆంగ్లేయులు) కూడా ప్రత్యేక స్థాన విలువలను తయారుచేసుకున్నారు. దీనినే ఆంగ్లమానం అంటారు. ఈ ఆంగ్లమానానికి, హిందూ - అరబిక్ మానంతో సారూప్యత ఉంది. హిందూ - అరబిక్ మానం, ఆంగ్లమానాలకు ఉన్న భేదాన్ని కింది పట్టిక రూపంలో చూడవచ్చు.

 రోమన్ సంఖ్యా మానం: ఈ విధానంలో సంఖ్యలను రాయడానికి కింది విలువలను గుర్తుంచుకోవాలి.

రోమన్ సంఖ్యలను రాయడానికి పాటించాల్సిన నియమాలు:
1) ఒక అంకె ఎక్కువసార్లు వస్తే ఆ అంకె వచ్చినన్నిసార్లు ఆ అంకె విలువను కూడాలి.
ఉదా: 1) I + I + I + I = 1 + 1 + 1 + 1 = 4
2) XXXX = 10 + 10 + 10 + 10 = 40
3) CC = 100 + 100 = 200

2). పెద్ద అంకెకు కుడివైపున చిన్న అంకె వచ్చే విధంగా రాసిన సంఖ్య విలువను కనుగొనేందుకు, అన్ని అంకెల విలువలను కూడాలి.
ఉదా: 1) VII = 5 + 1 + 1 = 7
         2) LXVIII = 50 + 10 + 5 + 1 + 1 + 1 = 68
         3) ఒక పెద్ద విలువ ఉన్న అంకె ఎడమవైపున ఎల్లప్పుడూ తక్కువ విలువ ఉన్న అంకె ఉండాలి. పెద్ద అంకె నుంచి చిన్న అంకెను తీసివేయాలి.
ఉదా: 1) IX = 10 - 1 = 9
        2) XC = 100 - 10 = 90 
        3) IV = 5 - 1 = 4 
       4) LIX = 50 + 10 - 1 = 59.
ద్వి సంఖ్యామానం: 0, 1 అనే రెండు అంకెలను మాత్రమే ఉపయోగించి సంఖ్యలను రాసే విధానాన్ని
ద్వి సంఖ్యామానం అంటారు. ద్వి సంఖ్యామానంలో భూమి లేదా ఆధార సంఖ్యను '2'గా తీసుకుంటారు.
ఉదా: 101010(2) , 110011(2)
దశాంశమానం: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 అనే అంకెలను ఉపయోగించి సంఖ్యలను రాసే విధానాన్ని దశాంశమానం అంటారు. దశాంశమానంలో భూమి లేదా ఆధార సంఖ్య '10'గా తీసుకుంటాం. 
ఉదా:  48(10) , 225(10)


 ద్వి సంఖ్యామానంలోని సంఖ్యను దశాంశమానంలోకి మార్చడం 

ఉదా:  110101(2) ను దశాంశ మానంలోకి మార్చండి?
సాధన: ఇచ్చిన సంఖ్య ద్వి సంఖ్యామానంలో ఉంది. ద్వి సంఖ్యామానంలో భూమి లేదా ఆధార సంఖ్యను '2' గా తీసుకుంటాం కాబట్టి ఈ కింది విధంగా రాయాలి.

       పైన తెలిపిన విధంగా రాసిన తర్వాత పై బాక్సులోని అంకెను, దాని కింది బాక్సులోని విలువతో గుణించి, అన్నింటినీ కూడాలి. 
  110101(2) = 1× 25+1× 24+0× 23+1× 22+0× 21+1× 20
                        = 32 + 16 + 0 + 4 + 0 + 1
                        = 53 
  110101(2) = 53(10)
మాదిరి ప్రశ్న:  విలువ ఎంత?
సాధన: ఇక్కడ షేడ్‌చేసిన బాక్సును '1' గాను, షేడ్ చేయని బాక్సును '0' గాను తీసుకోవాలి.   

  = 8 + 0 + 2 + 1
                  = 11
దశాంశమానంలోని సంఖ్యను ద్వి సంఖ్యామానంలోకి మార్చడం  

ఉదా: 59 ని ద్వి సంఖ్యామానంలోకి మార్చి రాయండి.
సాధన:  '59' ని '2' తో మాత్రమే భాగిస్తూ, భాగించడానికి సాధ్యపడనంతవరకు చేయాలి. వచ్చిన అంకెలను కిందినుంచి క్రమంగా రాయాలి.

 ఇవి మరచిపోకండి!

1) 'సున్న' (Zero) ను కనుగొన్నది భారతీయులే.
2) మనదేశంలో ఎప్పటినుంచో పెద్ద సంఖ్యలకు కొన్ని ప్రత్యేక 'పేర్లు' వాడుకలో ఉన్నాయి.
అవి: (i) రామాయణంలోని యుద్ధకాండలో 'మహాసముద్రం' అని వానరసేన సంఖ్యను వర్ణించారు. మహాసముద్రం అంటే 1 తరువాత 52 సున్నాలను కుడివైపున చేర్చిన సంఖ్య. దీనిని క్లుప్తంగా 1052 గా రాయవచ్చు. దీనిలో 53 స్థానాలు ఉంటాయి.
     (ii) 'అనుయోగ సూత్రం' అనే గ్రంథంలో జీవరాశుల సంఖ్యను 296 గా వివరించారు. ఈ సంఖ్యలో '29' స్థానాలు ఉన్నాయి.
    (iii) కాల ప్రమాణాన్ని సూచించడానికి 'షీర్ష ప్రహేళిక' అనే పదం వాడేవారు. ఈ సంఖ్యలో 194 స్థానాలున్నాయి.
3) తల్లక్షణం = 1053 (54 స్థానాలుంటాయి)
4) అసంఖేయ = 10140 (141 స్థానాలుంటాయి)
5) 1 గూగోల్ = 10100 (101 స్థానాలుంటాయి)
6) 1 గూగోల్ ప్లెక్స్ = 10గూగోల్ = 1010100
7) ఒక మిలియన్ మిలియన్లను ఒక 'ట్రిలియన్' అంటారు. దీనిలో 13 స్థానాలుంటాయి.

 

* సంయుక్త సంఖ్యలు: 1, అదే సంఖ్యతో పాటు కనీసం ఒక సంఖ్య అయినా కారణాంకంగా ఉన్న సంఖ్యలను సంయుక్త సంఖ్యలు అంటారు.

ఉదా: 4, 6, 8, 9, 10, ....

*  అకరణీయ సంఖ్యలు (Q):  P/Q రూపంలో రాయగలిగే సంఖ్యలను అకరణీయ సంఖ్యలు అంటారు.(p, q ∈ z; q 0)
ఉదా:


    

* కరణీయ సంఖ్యలు (Q')

P/Q రూపంలో రాయలేని సంఖ్యలను  కరణీయ సంఖ్యలు అంటారు .

*  వాస్తవ సంఖ్యలు (R): అకరణీయ సంఖ్యలు, కరణీయ సంఖ్యలను కలిపి వాస్తవ సంఖ్యలు అంటారు.                   

       

మాదిరి ప్రశ్నలు

1.    3/4, 3/8ల మధ్య ఉన్న ఒక అకరణీయ సంఖ్యను గుర్తించండి.


  

 

 


గమనిక: ఏ రెండు అకరణీయ సంఖ్యల మధ్యనైనా అనంతమైన అకరణీయ సంఖ్యలు ఉంటాయి.


2.    17 వరకు ఉన్న ప్రధాన సంఖ్యల మొత్తం ఎంత?

  1) 59       2) 58      3) 41       4) 42

సాధన: 17 వరకు ఉన్న ప్రధాన సంఖ్యలు = 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17

 2+3+5+ 7+ 11+ 13+ 17   = 58

                                                   సమాధానం: 2


3.    నాలుగు వరుస సరిసంఖ్యల మొత్తం 748. ఆ నాలుగు సంఖ్యల్లో చిన్నదాన్ని గుర్తించండి?

 1)  188     2) 186     3) 184     4)174


 

4.    21, 51 మధ్య ఉన్న సరిసంఖ్యల మొత్తం ఎంత?

1) 518       2) 540     3) 560     4) 596

సాధన: మొదటి n సరిసంఖ్యల మొత్తం = n(n+1)

 

         = 504 + 36 = 540

                                సమాధానం: 2


5. మొదటి 25 సహజసంఖ్యల మొత్తాన్ని నిశ్శేషంగా భాగించే సంఖ్య ఏది? 

1)  26     2) 24     3) 13     4)12

సాధన:  మొదటి n సహజసంఖ్యల మొత్తం = n(n+1)/2


   


6. మొదటి 50 బేసిసంఖ్యల మొత్తం ఎంత?

1) 1000        2) 1250   3)  5200        4)  2500

సాధన: మొదటి n  బేసిసంఖ్యల మొత్తం  = 1 + 3 +  5 + 7 +...(n సంఖ్యల్శు)= n2

మొదటి 50 బేసిసంఖ్యల మొత్తం = 1 +3+ 5 + 7+...(50 సంఖ్యల్శు)  = 502

=> 50 ´ 50 = 2500

                                                  సమాధానం: 4

 

7. a, bలు బేసి సంఖ్యలు అయితే కిందివాటిలో సరిసంఖ్య ఏది?

1) a + b + ab    2) a + b − 1   3) a + b + 1    4) a + b + 2ab 

 

8. 51 నుంచి 100 వరకు గల సహజసంఖ్యల మొత్తం ఎంత? 

1) 5050        2) 4275    3) 4025        4) 3775


9. 3; 200 వరకు ఉన్న సంఖ్యల్లో 7 తో నిశ్శేషంగా భాగించగల సహజ సంఖ్యలు ఎన్ని? 

1) 27     2) 28     3)  29   4)  36

సాధన: 3 వరకు ఉన్న సంఖ్యల్లో 7 తో నిశ్శేషంగా భాగించగల సంఖ్యలు = 0 

 

 

11. 270 యొక్క కారణాంకాల మొత్తం?

1) 540     2)  760     3)  720   4) 1080

Posted Date : 06-02-2021