• facebook
  • whatsapp
  • telegram

కాలం - దూరం

            కొంత నిర్దిష్ట దూరాన్ని ప్రయాణించడానికి వివిధ రవాణా సాధనాలకు పట్టే కాలాల్లో తేడా ఉంటుంది. వాటి వేగాల్లో తేడా వల్ల, వేగం తగ్గితే ప్రయాణించే కాలం పెరుగుతుంది. వేగం పెరిగితే ప్రయాణ కాలం తగ్గుతుంది.
 

దూరం: 
           ఒక నిర్దిష్టకాలంలో ఒక వస్తువు లేదా రవాణా సాధనం ప్రయాణించే మార్గం మొత్తం పొడవును  'దూరం' అంటాం. దీన్ని 'd' తో సూచిస్తాం.

 

వేగం: 
           ఒక సెకను కాలంలో వస్తువు ప్రయాణించే దూరాన్ని ఆ వస్తువు వేగం అంటాం. దాన్ని 's'  తో సూచిస్తాం.

 

సూత్రాలు:
 ¤    వేగం = దూరం / కాలం
 ¤    కాలం = దూరం / వేగం
 ¤   దూరం = వేగం   ×  కాలం
 ¤   వేగాన్ని కి.మీ./గం. నుంచి మీ./సె.కు మార్చాలంటే 5/18 తో గుణించాలి .  X కి.మీ./ గం.( X * 5/18 ) మీ./సె.
 ¤   వేగాన్ని మీ./సె. నుంచి కి.మీ./గం.కు మార్చాలంటే 18/5 తో గుణించాలి.   X కి.మీ./ గం ( X * 18/5 )  మీ./సె. 
¤  ఒకేదిశలో రెండు వస్తువులు ప్రయాణం చేసేటప్పుడు వాటి సాపేక్ష వేగం = వాటి వేగాల భేదం. ఒకే దిశలో ప్రయాణిస్తున్న రెండు వస్తువుల వేగాలు v1 ,  v2 లు అయితే వాటి సాపేక్షవేగం V  అయితే 
                              V  =  v1  -   v2  ( v1  >  v).

 

 ¤   పై రెండు దిశల్లో అవి కలుసుకోవడానికి పట్టేకాలం
           
¤   ఒక వస్తువు కొంత నిర్దిష్ట దూరాన్ని  x కి.మీ./గం. వేగంతో, తిరుగు ప్రయాణంలో ఆ దూరాన్ని y వ కి.మీ./గం.వేగంతో ప్రయాణిస్తే పూర్తి ప్రయాణంలో ఆ వస్తువు సరాసరి వేగం
                   
  V = 2XY / X + Y

 

¤   గంటకు 50 కి.మీ. వేగంతో ప్రయాణిస్తున్న ఒక రైలు 125 కి.మీ. దూరం ప్రయాణించడానికి పట్టే కాలమెంత?
సాధన:   వేగం   =   50 కి.మీ./గం           దూరం  =    125 కి.మీ.
 
 

 

¤   గంటకు 92.4 కి.మీ. వేగంతో ప్రయాణిస్తున్న రైలు 10 నిమిషాల్లో ప్రయాణించే దూరం మీటర్లలో ?

సాధన:   రైలు  వేగం  =  92.4 కి.మీ./గం.
               = (92.4 * 5/18) మీ./సె.

              = 77/3 మీ./సె.
 కాలం = 10 నిమిషాలు  = 10    60  =  600 సెకన్లు 10 నిమిషాల్లో అంటే ( 10  60 ) సెకన్లలో రైలు ప్రయాణించే  దూరం  =  వేగం  కాలం
                           = 77/3 * 10 * 60) మీ.

                          = 15400 మీ.
 

 ¤   ఒక బాలుడు స్కూలుకు గంటకు 3 కి.మీ. వేగంతో వెళ్లి తిరుగు ప్రయాణంలోగంటకు 4 కి.మీ. వేగంతో వస్తాడు. ఆ మొత్తం ప్రయాణానికి పట్టేకాలం 7 గంటలైతే అతడి స్కూలుకు, ఊరికి మధ్య ఉన్న దూరమెంత ?
సాధన:   సరాసరి  వేగం
  =2V1V2 / V1 + V2    =  (2 * 3 * 4) / 7     =   24/7 కి.మీ/గం.
  మొత్తం దూరం   =   సరాసరి వేగం  *  కాలం

= 24/7 * 7 కి.మీ. = 24 కి.మీ.

  
 ¤   ఒక వ్యక్తి మొదటి 300 కి.మీ.లను 30 కి.మీ.ల వేగంతో, ఆ తరువాత 400 కి.మీ.లను గంటకు 100 కి.మీ.ల వేగంతో ప్రయాణిస్తే అతడి ప్రయాణ సగటు వేగం ఎంత? 
సాధన:
 దూరం D1 = 300 కి.మీ.
           వేగం    S1  = 30 కి.మీ/గం.
  
దూరం D2  =  400కి.మీ.    వేగం S2  =   100   కి.మీ./గం
  
 పై సమస్యలో దూరాలు వేర్వేరు కాబట్టి   

¤   ఒకరైలు ఇంజిన్ చక్రాల పరిధిమీ. అది 7 భ్రమణాలు చేయడానికి 4 సెకన్లు తీసుకుంటే ఆ రైలు వేగాన్ని కి.మీ/గం.లో తెలపండి.
సాధన:
 చక్రం పరిధి  =మీటర్లు = 30/7 మీటర్లు ఒక భ్రమణానికి  30/7 మీ. ప్రయాణించింది.
కాబట్టి 7 భ్రమణాలకు  7 * 30/7  =  30 మీటర్లు ప్రయాణించింది.
కాలం   =   4 సెకన్లు
 
      
¤   ఒక వ్యక్తి తన ఇంటి నుంచి ఆఫీసుకు స్కూటర్‌పై గంటకు 30 కి.మీ. వేగంతో ప్రయాణిస్తే 10 నిమిషాలు ఆలస్యంగా చేరుకుంటాడు. గంటకు 40 కి.మీ. వేగంతో ప్రయాణిస్తే 5 నిమిషాలు ముందు చేరుకుంటాడు. అయితే ఆఫీసుకు ఇంటికి మధ్య ఉన్న దూరమెంత ?

సాధన: ఆఫీసుకు ఇంటికి ఉన్న దూరం  x  కి.మీ. అనుకుంటే, గంటకు 30 కి.మీ. వేగంతో x కి.మీ. ప్రయాణించడానికి పట్టేకాలం x/40 గంటలు
కాలాల మధ్య వ్యత్యాసం  =  15 నిమిషాలు
       = 15/60  గంటలు  =  1/4  గంటలు

∴ x/30 - 1/4,  x = 30 కి.మీ
     
Short cut Method:
   

 

¤   ఒక వ్యక్తి గంటకు 12 కి.మీ. వేగంతో నడుస్తున్నాడు. ప్రతి కి.మీ.కు 12 నిమిషాలు ఆగుతున్నాడు. అతడు 36 కి.మీ.లు ప్రయాణించడానికి పట్టే సమయమెంత?
సాధన:  వ్యక్తి వేగం  =  12 కి.మీ./గం. 
   దూరం = 36 కి.మీ.
   

కానీ ప్రతి కి.మీ.కు 12 నిమిషాలు విరామం అంటే 12/60  గంటలు అవుతుంది.
విరామ సమయం   =   35 * 12/60   =   7 గంటలు
మొత్తం కాలం   = ( 3  +  7 )  =  10 గంటలు

 

¤   గంటకు 25 కి.మీ. వేగంతో ప్రయాణించే ఒక రైలు ఉదయం 9 గంటలకు ఢిల్లీ నుంచి బయలుదేరింది. మరో రైలు గంటకు 35 కి.మీ. వేగంతో ప్రయాణిస్తూ మధ్యాహ్నం 2 గంటలకు అదే దిశలో బయలుదేరితే, బయలు దేరిన స్థానం నుంచి ఎన్ని కి.మీ. దూరంలో అవి రెండూ కలుసుకుంటాయి?
సాధన:
   రెండు రైళ్లు కలుసుకునే దూరం  =  x కి.మీ. అనుకుంటే మొదటి రైలు x కి.మీ. ప్రయాణం చేయడానికి
పట్టేకాలం  = x/25 గంటలు రెండో రైలు x కి.మీ. ప్రయాణం చేయడానికి పట్టేకాలం = x/35 గంటలు కాలాల మధ్య వ్యత్యాసం
x/25  - x/35  =  2 మ‌ధ్యాహ్నం  -  9 రాత్రి  = 5 గంటలు    
x/25  - x/35  = 5

రెండు రైళ్లు బయలుదేరిన స్థానం నుంచి తర్వాత ఒకదానినొకటి కలుసుకుంటాయి.

Shortcut : 
 

 ¤   A, B అనే వ్యక్తులు P అనే స్థలం నుంచి గంటకు 4 కి.మీ., 5 కి.మీ. వేగంతో బయలుదేరారు. వారిద్దరూ ఒకే దిశలో ప్రయాణిస్తే 4 గంటల తర్వాత వారిద్దరి మధ్య దూరమెంత?
సాధన:   A వేగం   =   4 కి.మీ/గం.  B వేగం   =   5 కి.మీ./గం.
            A, B ల సాపేక్ష వేగం   =   5   -  4   =    1 కి.మీ./గం.
4 గంటల తర్వాత వారిమధ్య
   దూరం = వేగం  *  కాలం
             =  1 *  4   =  4 కి.మీ

 

 ¤   900 కి.మీ. పొడవున్న ఒక రోడ్డు మీద ప్రతి 10 కి.మీ.కు ఒక మొక్క నాటాలని ఒక స్వచ్ఛంద సంస్థ ప్రతినిధులు భావిస్తే కావలసిన మొక్కల సంఖ్య ఎంత?


 

 ¤   ఒక కోతి 14 మీటర్లు పొడవున్న ఒక స్తంభాన్ని ఎక్కడానికి ప్రయత్నించే క్రమంలో ప్రతి నిమిషానికి 2 మీటర్లు ఎక్కి, 1 మీటరు జారిపోతుంది. ఆ స్తంభం చివరకు చేరుకోవడానికి ఎంత సమయం పడుతుంది?
సాధన:
 ప్రతి 2 నిమిషాలకు 2 మీటర్లు ఎక్కి, 1 మీటరు జారిపోతుంది కాబట్టి ప్రతి 2 నిమిషాలకు 1 మీటరు ఎక్కుతుంది.
12 మీటర్లకు 12 * 2 = 24 నిమిషాలు పడుతుంది. చివరి 2 మీటర్లకు 1 నిమిషం తీసుకుని స్తంభం చివరకు చేరుకుంటుంది. కాబట్టి
14 మీటర్ల పొడవున్న ఒక స్తంభం చివరకు చేరుకునేందుకు పట్టేకాలం   =   ( 24 + 1 )  =  25 నిమిషాలు
  

    
 ¤   A, B అనే వ్యక్తులు గంటకు 20 కి.మీ., 30 కి.మీ. వేగాలతో 400 కి.మీ.దూరంప్రయాణించారు. తీ ముందుగా గమ్యస్థానాన్ని చేరుకుని మళ్లీ తి ని కలిస్తే, ప్రారంభ స్థలం నుంచి తి ను కలుసుకున్న దూరం ఎంత?


 

¤   ఒక కారు కొంత నిర్దిష్ట దూరాన్ని 10 గంటల్లో ప్రయాణించింది. మొదటి సగం దూరాన్ని గంటకు 21 కి.మీ. వేగంతో, తర్వాత సగం దూరాన్ని గంటకు 24 కి.మీ. వేగంతో ప్రయాణిస్తే మొత్తం దూరమెంత?
సాధన:   దూరం  =  x  కి.మీ అనుకుంటే  x/2  కి.మీ. దూరాన్ని గంటకు 21 కి.మీ. వేగంతో ప్రయాణిస్తే

  

Posted Date : 06-02-2021